【LeetCode-简单】53. 最大子序和

要点：滑动窗口、动态规划

描述

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

关键点

滑动窗口

方法一、前缀和+暴力解

求序列和可以用前缀和（prefixSum) 来优化，给定子序列的首尾位置（l, r), 那么序列和 subarraySum=prefixSum[r] - prefixSum[l - 1]; 用一个全局变量maxSum, 比较每次求解的子序列和，maxSum = max(maxSum, subarraySum).

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function(nums) {
  const len = nums.length;
  let max = -Number.MAX_VALUE;
  let sum = 0;
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    sum = 0;
    for (let j = i; j < len; j++) {
      sum += nums[j];
      max = Math.max(max, sum)
      //if (sum > max) {
      //  max = sum;
      //}
    }
  }
  return max;
};

203/203 cases passed (172 ms)
Your runtime beats 7.92 % of javascript submissions
Your memory usage beats 76.04 % of javascript submissions (39.2 MB)

时间复杂度：$O(N ^ 2)$, 其中 N 是数组长度

空间复杂度：$O(N)$

方法二、优化前缀和

我们定义函数S(i) ，它的功能是计算以 0（包括 0）开始加到 i（包括 i）的值。

那么 S(j) - S(i - 1) 就等于从 i 开始（包括 i）加到 j（包括 j）的值。

我们进一步分析，实际上我们只需要遍历一次计算出所有的 S(i), 其中 i = 0,1,2,....,n-1。 然后我们再减去之前的S(k),其中 k = 0,1,2,...,i-1，中的最小值即可。因此我们需要用一个变量来维护这个最小值，还需要一个变量维护最大值。

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function(nums) {
  var prev = 0;
  var max = -Number.MAX_VALUE;

  for (var i = 0; i < nums.length; i++) {
    prev = Math.max(prev + nums[i], nums[i]);
    max = Math.max(max, prev);
  }
  return max;
};

203/203 cases passed (72 ms)
Your runtime beats 84.33 % of javascript submissions
Your memory usage beats 85.98 % of javascript submissions (39.1 MB)

时间复杂度：$O(N)$, 其中 N 是数组长度

空间复杂度：$O(1)$

方法三、分治法

我们把数组nums以中间位置（m)分为左（left)右(right)两部分. 那么有， left = nums[0]...nums[m - 1] 和 right = nums[m + 1]...nums[n-1]

最大子序列和的位置有以下三种情况：

考虑中间元素nums[m], 跨越左右两部分，这里从中间元素开始，往左求出后缀最大，往右求出前缀最大, 保持连续性。
不考虑中间元素，最大子序列和出现在左半部分，递归求解左边部分最大子序列和
不考虑中间元素，最大子序列和出现在右半部分，递归求解右边部分最大子序列和

分别求出三种情况下最大子序列和，三者中最大值即为最大子序列和。

function helper(list, m, n) {
  if (m === n) return list[m];
  let sum = 0;
  let lmax = -Number.MAX_VALUE;
  let rmax = -Number.MAX_VALUE;
  const mid = ((n - m) >> 1) + m;
    
  const l = helper(list, m, mid);
  const r = helper(list, mid + 1, n);
  for (let i = mid; i >= m; i--) {
    sum += list[i];
    if (sum > lmax) lmax = sum;
  }

  sum = 0;

  for (let i = mid + 1; i <= n; i++) {
    sum += list[i];
    if (sum > rmax) rmax = sum;
  }

  return Math.max(l, r, lmax + rmax);
}

function LSS(list) {
  return helper(list, 0, list.length - 1);
}

203/203 cases passed (76 ms)
Your runtime beats 70.48 % of javascript submissions
Your memory usage beats 22.56 % of javascript submissions (39.5 MB)

时间复杂度：$O(NlogN)$, 其中 N 是数组长度

空间复杂度：$O(logN)$

方法四、动态规划

动态规划

function LSS(list) {
  const len = list.length;
  let max = list[0];
  for (let i = 1; i < len; i++) {
    list[i] = Math.max(0, list[i - 1]) + list[i];
    if (list[i] > max) max = list[i];
  }

  return max;
}

时间复杂度：$O(N)$, 其中 N 是数组长度

空间复杂度：$O(1)$

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描述

关键点

方法一、前缀和+暴力解

方法二、优化前缀和

方法三、分治法

方法四、动态规划

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